九州大学の文系数学は大問４題の構成になっています。
数学が苦手な生徒様向けに、確実に正答が可能な問題を中心に解答を掲載しています。難しい問題は解答を省略しています。
２０２０年（令和２年）
九州大学文系数学問題
大問１解答解説
数学が苦手な生徒様向けに、確実に正答して欲しい問題を中心に掲載しています。
２０２０年九州大学文系数学
試験問題
大問２
２０２０年九州大学文系数学
試験問題
大問３
２０２０年九州大学文系数学
試験問題
大問４
２０１９年（平成３１年）
九州大学文系数学試験問題
２０１９年
試験問題
大問１
２０１９年
大問１
解答解説
２０１９年九州大学文系数学
試験問題
大問２
２０１９年九州大学文系数学
試験問題
大問３
２０１９年九州大学文系数学
大問３
解答解説
２０１９年九州大学文系数学
試験問題
大問４
２０１８年文系数学
試験問題大問１
解答解説
２０１８年試験問題
大問２
２０１８年試験問題
大問３
２０１８年試験問題
大問４
２０１７年（平成２９年）文系数学
試験問題
大問１
２０１７年文系数学
試験問題
大問２
２０１７年文系数学
試験問題
大問３
２０１７年文系数学
試験問題
大問４
２０１６年（平成２８年）文系数学
試験問題
大問１
２０１６年九州大学文系数学
試験問題
大問２
２０１６年九州大学文系数学
試験問題
大問３
２０１６年九州大学文系数学
試験問題
大問４
２０１５年（平成２７年）文系数学
試験問題
大問１
２０１５年九州大学文系数学
試験問題
大問２
２０１５年九州大学文系数学
試験問題
大問３
２０１５年九州大学文系数学
試験問題
大問４
２０１４年文系数学
試験問題
大問１
２０１４年九州大学文系数学
試験問題
大問２
２０１４年九州大学文系数学
試験問題
大問３
２０１４年九州大学文系数学
試験問題
大問４
２０１３年文系数学
試験問題
大問１
２０１３年九州大学文系数学
試験問題
大問２
２０１３年九州大学文系数学
試験問題
大問３
２０１３年九州大学文系数学
試験問題
大問４
２０１２年九州大学文系数学
試験問題
大問１
２０１２年九州大学文系数学
試験問題
大問２
２０１２年九州大学文系数学
試験問題
大問３
２０１２年九州大学文系数学
試験問題
大問４
２０１１年九州大学文系数学
試験問題
大問１
２０１１年九州大学文系数学
試験問題
大問２
２０１１年九州大学文系数学
試験問題
大問３
２０１１年九州大学文系数学
試験問題
大問４
２０１０年九州大学文系数学
試験問題
大問１
２０１０年九州大学文系数学
試験問題
大問３
２０１０年九州大学文系数学
試験問題
大問４
２００９年九州大学文系数学
試験問題
大問１
２００９年九州大学文系数学
試験問題
大問２
九州大学の数学について出題頻度順に過去問の傾向をまとめてみました。
まず、アウトラインを上げていきます。各分野の詳細については、順次、ネットに公開していきます。
九州大学文系① 微分法と積分法
九州大学文系② 場合の数と確率
九州大学文系③ 三角関数
九州大学文系④ 空間のベクトル
九州大学文系⑤ 数列
九州大学文系⑥ 図形と計量
九州大学文系⑦ 整数の性質
九州大学文系⑧ 平面上のベクトル
九州大学文系⑨ 図形と方程式
九州大学文系⑩ 図形の性質
九州大学文系⑪ 数と式
九州大学文系① 微分法と積分法
傾向
微分法の接線の方程式、法線の方程式を求める問題。３次方程式の実数解個数を求める問題。積分法の面積を求める問題等がよく出題されています。融合問題としては、相加相乗平均の公式、図形と方程式、数列、三角関数と絡めた問題がよく出題されています。
対策
微分法と積分法の分野の公式を網羅的に理解、暗記しておくことは必須だと思います。その上で上記の数学ⅡＢの分野もしっかりと学習しておくべきだと思います。
２００５年①
図形と方程式の融合
（１）２点間距離の公式を用い、最小値を求めます。そのときのtの値が１よりＰの座標も求めることができます。
（２）台形の面積から曲線とx軸で囲まれた部分の面積を引くことでＳ（a）を求めることができます。
（３）相加相乗平均の公式を用いることで、最小値を求めることができます。等号成立のときに最小値をとります。
２００６年①
（１）接線の方程式、法線の方程式を求める問題です。
（２）（１）で求めた法線の方程式と曲線Cで囲まれた部分の面積を求める問題です。
（３）面積がｓ１＞ｓ２の場合のtの値の範囲を求める問題です。ｓ１とｓ２の差をとって、５次不等式を解きます。５次不等式の計算が大変ですが、うまく因数分解をして解きましょう。
２００８年②
（１）法線の方程式を求める問題です。
（２）（１）で求めた法線を使い、法線の本数を求める問題です。３次方程式の実数解個数が求める法線の本数と一致するので、場合分けをして求めましょう。
２００８年④
数列、対数関数との融合
（１）まず接線の方程式を求めます。その直線上に（a2、0）があるので、代入してa2を求めます。
（２）数列の証明 （１）で求めたa1, a2と同様にan、an+1の場合を表し、an > 1を示します。
（３）数列の証明 （２）の結果から示します。
（４）対数関数 （２）（３）の結果を用いて、ｎの値を求めます。
２００９年④
（１）曲線上の点Ｐ、Ｑにおける接線の方程式をそれぞれ求めます。それを解いて点Ｒの座標を求めます。 次に三角形ＰＲＱの面積を求めます。まず、直線ＰＱの方程式を求めます。直線ＰＱ上の中点をＭとすると、ＭとＲのx座標が等しいため、ＭＲの長さを求めることができます。そして、点Ｐ、Ｑのx座標とＭＲの長さから三角形ＰＲＱの面積を求めることができます。
（２）題意の面積を求める場合、①直線ＰＱと曲線で囲まれた部分の面積と②三角形ＰＳＱの面積とに分けて考えます。①の部分は⅙の面積公式を使い、求めます。②の部分は三角形ＰＲＱの面積と等しいので（１）の結果を使います。
（３）２つの接線が直交するため、直交条件からaの値をbを用いて表します。その値を（２）で求めた面積の式に代入し、相加相乗平均の公式より最小値を求めます。
２０１０年③
三角関数との融合
（１）まず、弦の長さＭＢは、∠ＡＭＢ＝９０°よりＭＢ＝ＡＢsinθ＝２sinθ、点Ｍの座標は、円周角の定理より、∠ＢＯＭ＝２θなので、Ｍ（cos２θ、sin２θ）
（２）∠ＢＯＮ＝４θより、Ｎ（cos４θ、sin４θ）。したがって、ＰＢ＝１－cos４θ
（３）（１）（２）の結果からＭＢ、ＰＢをtを用いて表し、ＭＢ＝ＰＢより、tの４次方程式を解きます。０°＜∠ＢＯＭ≦１８０°よりθの範囲に気を付けてください。（４）tの値の範囲に気を付けて、３次方程式を解くことで題意を示すことが可能です。
２０１１年①
（１）直線ＰＨは点Pを通り，直線y＝x に垂直な直線なので、その交点が点Ｈです。
（２）点Ｒ（t、t）より、ＰＨとＲＨが等しいので、⊿ＰＲＨを求めることができます。
（３）（２）の結果を用いて、Ｓ1を求めることができます。①放物線と直線y＝xで囲まれた部分（１≦x≦t）、②⊿ＰＲＨに分けて考えます。
（４）⅙公式を用い、Ｓ２は⅙と求まります。Ｓ１＝Ｓ２のとき、（３）の結果を用い、tについての４次方程式を解くことで、tの値を求めることが可能です。ｔ>１に注意して下さい。
２０１２年②
（１）関数f（x）を微分し、Ｃ上の点（u、ｆ(u)）における接線の傾きがtのとき、uがf´（x）=tの解となります。この方程式の判別式をＤとすると、ｔ≧０のとき、Ｄ>０より、ｆ´（x）=ｔは異なる２つの実数解をもちます。よって、Ｃは傾きがｔ（ｔ≧０）である接線を2本もちます。
（２）p、qは（１）で求めた２次方程式の解であるので、解と係数の関係より、p＋q、pqの値を求めます。したがって、f(p)＋f(q)=０となります。点Aは点Ｐと点Qの中点より題意を証明することが可能です。
（３）PQの二乗を計算し、その３次方程式を解くことで最小値を求めることができます。ｔ=０、３で最小値をとるので、（１）で求めた２次方程式に代入し、p、qを求めます。
２０１３年④
図形と方程式との融合
（１）直線を円Ｃに代入します。このとき、x=２で重解をもつので、y=０となります。よって、直線y＝x－２は円Ｃに点（２、０）で接します。
（２）円Ｃと放物線からyを消去し、整理するとx=２で２重解をもつので、このときy=０となります。よって、求める共有点の座標は（２，０）となります。
（３）作図は省略します。x≧０、y≧０のときＡの表す領域は、x軸、y軸及び直線x+y=２で囲まれた図形の内部及び境界線です。このとき、（x、y）に対して、x軸、y軸、原点に関して、それぞれ対称な点（x、－y）、（－x、y）、（－x、－y）もＡの不等式を満たします。したがって、Ａの表す領域は、４点（２、０）、（０、２）、（－２、０）、（０、－２）を頂点とする四角形の内部及びその周上です。x＝０のとき、Ｂの表す領域は、y軸の右側で、円の内部とその境界線です。このとき、（x、y）に対して、y軸と対称な点（－x、y）もＢの不等式を満たします。求める面積は、①３点（２，０）、（０、２）、（－２、０）を頂点とする⊿の面積、②放物線のx軸の下側の部分の面積、③２点（２、０）、（０、２）を直径とする円の半分、④２点（－２、０）、（０、２）を直径とする円の半分となります。
２０１４年④
図形と方程式との融合
（１）点と直線の距離の公式と２点間距離の公式より、d（Ｐ、ℓ1）、d（Ｐ、ℓ2）、ＰＯ、ＰＡの値を求めます。それを①に代入します。それを整理し、その２式を満たす領域が存在する条件は、２つの放物線が共有点をもつことなので、２次方程式が実数解をもつ条件を求めます。判別式Ｄを解いて、求めるaの範囲は－２≦a≦２となります。
（２）（１）の２次方程式の解をα、βとし、解の公式よりβ－αの値を求め、⅙の面積公式を用いることにより、題意の面積を求めることができます。
２０１５年①
図形と方程式との融合
（１）Ｃ１とＣ２が２点で交わるための条件を求める問題です。Ｃ１とＣ２からyを消去し、整理します。その２次方程式が異なる２点で交わるための条件は、判別式Ｄ>０なので、それを解くことにより題意を求めることができます。
（２）⅙の面積公式を用いる問題です。（１）の２次方程式の解をα、βとします。解と係数の関係よりα+β、αβの値を求めます。その値を用い、β-αの値を求めます。それを①とします。そして、Ｃ１とＣ２で囲まれる部分の面積を⅙の面積公式を使い求めます。その値が条件より９なので、β-α=３となります。①=３よりbをaの値を用いて表すことができます。
（３）軌跡を求める問題です。（２）の結果より、Ｃ２のbの値を置き換えます。Ｃ２の頂点を（x、y）とおき、Ｃ２を平方完成し、その頂点の座標と等式を作ります。xを消去することにより、Ｃ２の頂点が描く軌跡の方程式を求めることができます。
２０１６年①
微分積分の基本定理
（１）微分と積分がお互いに逆の操作・演算であることを用いて問題を解いていきます。曲線Ｃを条件に注意して、f(x)=x（x-α）（x-β）とおきます。関数f（x）の原始関数の一つをＦ（x）とおいて、Ｆ（０）、Ｆ（α）、Ｆ（β）の値を求めます。積分区間に注意してＳを表します。
（２）（１）の結果より、Ｓ（α）を微分します。０<α<βよりＳ（α）の増減表を書き、Ｓを最小にするαの値を求めることができます。
九州大学文系② 場合の数と確率
２００９年③
問題
1 から6 までの数字が1 つずつ書かれている6 枚のカードがある。これらをよ
くきった上で，左から右に一列に並べる。カードに書かれた数字を左から順に
a，b，c，d，e，f とする。このとき，次の問いに答えよ。
(1) a + b = c となる確率を求めよ。
(2) a + b = c + d となる確率を求めよ。
２０１０年②
問題
次のような競技を考える。競技者がサイコロを振る。もし，出た目が気に入れ
ばその目を得点とする。そうでなければ，もう1 回サイコロを振って，2 つの
目の合計を得点とすることができる。ただし，合計が7 以上になった場合は0
点とする。この取り決めによって，2 回目を振ると得点が下がることもあるこ
とに注意しよう。次の問いに答えよ。
(1) 競技者が常にサイコロを2 回振るとすると，得点の期待値はいくらか。
(2) 競技者が最初の目が6 のときだけ2 回目を振らないとすると，得点の期待
値はいくらか。
(3) 得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にある
ときに2 回目を振るとよいか。
２０１１年④
問題
1 から4 までの数字が1 つずつ書かれた4 枚のカードがある。その4 枚のカー
ドを横一列に並べ，以下の操作を考える。
操作： 1 から4 までの数字が1 つずつ書かれた4 個の球が入っている袋から
同時に2 個の球を取り出す。球に書かれた数字がi とj ならば，i の
カードとj のカードを入れかえる。その後，2 個の球は袋に戻す。
初めにカードを左から順に1，2，3，4 と並へ，上の操作を2 回繰り返した後の
カードについて，以下の問いに答えよ。
(1) カードが左から順に1，2，3，4 と並ぶ確率を求めよ。
(2) カードが左から順に4，3，2，1 と並ぶ確率を求めよ。
(3) 左端のカードの数字が1 になる確率を求めよ。
(4) 左端のカードの数字の期待値を求めよ。
２０１２年④
問題
いくつかの玉が入った箱A と箱B があるとき，次の試行T を考える。
(試行T) 箱A から2 個の玉を取り出して箱B に入れ，その後，
箱B から2 個の玉を取り出して箱A に入れる。
最初に箱A に黒玉が3 個，箱B に白玉が2 個入っているとき，以下の問いに答
えよ。
(1) 試行T を1 回行ったときに，箱A に黒玉がn 個入っている確率pn (n =
1; 2; 3) を求めて既約分数で表せ。
(2) 試行T を2 回行ったときに，箱A に黒玉がn 個入っている確率qn (n =
1; 2; 3) を求めて既約分数で表せ。
(3) 試行T を3 回行ったときに，箱A の中がすべて黒玉になっている確率を
求めて既約分数で表せ。
２０１３年③
問題
横一列に並んだ6 枚の硬貨に対して，以下の操作L と操作R を考える。
L: さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ左端から順に硬貨の
表と裏を反転する。
R: さいころを投げて，出た目と同じ枚数だけ右端から順に硬貨の
表と裏を反転する。
たとえば，表表裏表裏表 と並んだ状態で操作L を行うときに，3 の目が出た
場合は，裏裏表表裏裏 となる。
以下，「最初の状態」とは硬貨が6 枚とも表であることとする。
(1) 最初の状態から操作L を2 回続けて行うとき，表が1 枚となる確率を求
めよ。
(2) 最初の状態からL，Rの順に操作を行うとき，表の枚数の期待値を求めよ。
(3) 最初の状態からL，R，L の順に操作を行うとき，すべての硬貨が表とな
る確率を求めよ。
２０１４年④
問題
A さんは5 円硬貨を3 枚，B さんは5 円硬貨を1 枚と10 円硬貨を1 枚持ってい
る。2 人は自分が持っている硬貨すべてを一度に投げる。それぞれが投げた硬
貨のうち表が出た硬貨の合計金額が多い方を勝ちとする。勝者は相手の裏が出
た硬貨をすべてもらう。なお，表が出た硬貨の合計金額が同じときは引き分け
とし，硬貨のやりとりは行わない。このゲームについて，以下の問いに答えよ。
(1) A さんがB さんに勝つ確率p，および引き分けとなる確率q をそれぞれ求
めよ。
(2) ゲーム終了後にAさんが持っている硬貨の合計金額の期待値E を求めよ。
２０１５年③
問題
袋の中に最初に赤玉2 個と青玉1 個が入っている。次の操作を考える。
(操作) 袋から1 個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉1 個
を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉1 個を袋に入れる。袋に
入っている3 個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を1 枚もらう。
この操作を4 回繰り返す。もらう硬貨の総数が1 枚である確率と，もらう硬貨
の総数が2 枚である確率をそれぞれ求めよ。
２０１６年③
問題
袋の中に，赤玉が15 個，青玉が10 個，白玉が5 個入っている。袋の中から玉
を1 個取り出し，取り出した玉の色に応じて，以下の操作で座標平面に置いた
コインを動かすことを考える。
(操作) コインが点(x、 y) にあるものとする。赤玉を取り出したときにはコイン
を点(x + 1、 y) に移動，青玉を取り出したときには点(x、 y + 1) に移動，
白玉を取り出したときには点(x －1、y －1) に移動し，取り出した球は袋
に戻す。
最初に原点(0、 0) にコインを置き，この操作を繰り返して行う。指定した回数
だけ操作を繰り返した後，コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする。
このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 操作をn 回繰り返したとき，白玉を1 度だけ取り出したとする。このと
き，到達点となり得る点をすべて求めよ。
(2) 操作をn 回繰り返したとき，到達点となり得る点の個数を求めよ。
(3) 座標平面上の4 点(1、 1)，(－1、 1)，(－1、－1)，(1、－1) を頂点とする正方
形D を考える。操作をn 回繰り返したとき，到達点がD の内部または辺
上にある確率をPn とする。P3 を求めよ。
(4) 自然数N に対してP3N を求めよ。
九州大学文系③ 三角関数
九州大学文系④ 空間のベクトル
九州大学文系⑤ 数列
九州大学文系⑥ 図形と計量
九州大学文系⑦ 整数の性質
九州大学文系⑧ 平面上のベクトル
九州大学文系⑨ 図形と方程式
九州大学文系⑩ 図形の性質
九州大学文系⑪ 数と式